プラグインの公式ページより、旧バージョンのプラグインをインストールし直します。
ただし設定はすべて初期化されてしまいますのでその点をご了承のうえ、進めてください。

今回更新を行ってエラーが生じたプラグインの名前をGoogleなどを検索します。
例えば「contact form 7」というプラグインを更新した後にエラーが生じた場合は、以下のようにGoogleで検索し、検索結果に表示された公式ページへアクセスします。

公式ページ・画面右側あたりにバージョンやアップデートの情報が表示されている欄があり、その左下部「詳細を表示」をクリックします。
（下図参照）

遷移したページの下部に「上級者向け設定」の案内があり、旧バージョンのプラグインをダウンロードできます。

開発バージョンをクリックすると旧バージョンを選択できますので、以前のバージョンを選択してダウンロードします。

その後、先ほどと同じようにFTPなどを使って対処します。

1. 「〇〇（任意）/wp-content/plugins」のフォルダーにアクセス。
2. 本番サーバー上の、エラーが生じたプラグインフォルダーを削除する（一応バックアップをとる）。
3. （1）で見つけたバックアップデータ内のプラグインのフォルダーごと、本番サーバーへアップロードする。

この時点でプラグインは初期化されていますので、以前と同じように設定を行う必要があります。